数学专业研究领域
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纯数学：
代数与代数几何
代数拓扑
分析与偏微分方程
几何
数理逻辑与基础
数论
概率与统计
表征理论
代数与代数几何
多项式方程和方程组出现在数学、科学和工程的所有分支中。几个世纪以来，理解这些令人惊讶的方程式的复杂解法(代数变量)一直是数学的一项事业，并且仍然是当代数学中最深刻和最核心的领域之一。
本课组的研究兴趣包括代数变量的分类，特别是双有理分类和模理论，它涉及到代数变量如何随着定义方程系数的变化而变化。极小模型纲领为分类提供了一个有前景的途径。另一个活跃的研究领域涉及霍奇理论，它将代数变量的拓扑结构与调和函数联系了起来。霍奇猜想是克莱千年七大难题之一，奖金高达100万美元。Gromov-Witten理论，衍生范畴的研究，Calabi-Yau流形和镜像对称是活跃的领域，部分灵感来自于它们与理论高能粒子物理，特别是弦理论的联系。非交换代数几何作为与表示论相关联的一种推广，已成为本系若干成员研究的一个重要而活跃的领域。高速计算机的出现激发了对求解多项式方程的算法方法的新研究，并有许多有趣的实际应用(例如，经济学，遗传学和机器人)。
代数拓扑
形状的概念是数学的基础。几何学涉及形状的局部性质，如曲率，而拓扑学涉及如亏格（genus）之类的大规模属性。代数方法在拓扑学中变得越来越重要，并且代数中越来越复杂的部分正在被使用。在代数拓扑中，我们通过将空间映射到代数对象(如群)来研究空间，从而利用代数的新方法和直觉来回答拓扑问题。例如，椭圆曲线的算法——这是安德鲁·怀尔斯解决费马猜想的核心——已经被提升到拓扑学中，为研究几何物体提供了新的非常强大的工具。
本系在这方面的研究发挥了开创性的作用，现在已经发展成为一门重要的学科。麻省理工学院的教师和讲师们继续与更复杂和现代的算术代数几何领域建立联系，现在正在重新设计整个领域，创造代数几何和代数拓扑的深度统一。这项工作将为未来十年的许多研究奠定基础，并有望为代数和拓扑学提供有用的工具。
具体来说，我们的研究领域包括稳定与不稳定同伦理论、同伦群论、高范畴论、衍生代数几何、椭圆上同调、计算同伦理论和弦拓扑。
分析与偏微分方程
微积分与实连续函数和复连续函数的理论是科学的最高成就。今天，数学分析领域继续发展这一理论，赋予它更大的力量和普遍性。我们的教师在分析各种类型的偏微分方程，在理解其解的性质方面取得了很大的进步。
我们的分析小组研究自由边界问题，色散方程，微局部分析与微分几何和数学物理(index theory指标理论)的应用。
几何与拓扑
现代几何学科实际上影响着数学的每一个分支，并且正处于一个巨大的发展时期。许多老问题正在利用该领域的技术得到解决(特别是佩雷尔曼对庞加莱猜想的解决)，新的方向正在开拓。这一领域的一个重要主题是开发和使用几何中出现的从偏微分方程理论到自然方程研究的复杂技术。20世纪60年代的Atiyah-Singer指标理论将线性偏微分方程理论与拓扑和几何联系了起来。几何中非线性偏微分方程的工具的发展速度较慢，但却导致了数学中许多最引人注目的发展，包括唐纳森在使用高能物理杨-米尔斯方程的四流形理论方面的突破。
低维流形(四维或四维以下)的研究在理论物理中具有特殊的意义和广泛的应用。花同调是构建量子场论部分的一个严谨的数学方法。另一个重要且不断发展的领域是广义相对论的数学。洛伦兹版本的爱因斯坦方程现在是我们双曲偏微分方程技术的前沿。几何分析的一个分支涉及从函数在不同域上的积分中恢复函数。这个想法的一个著名应用是计算机断层扫描(CT扫描)。
本课题组的研究兴趣包括几何分析、辛拓扑（辛几何）及其在镜像对称中的作用、低维拓扑和规范理论、黎曼几何和极小曲面以及数学物理。
数理逻辑与基础
数学逻辑研究数学推理本身的力量。这个领域的各个子领域通过他们对基本概念的研究联系在一起:集合、证明、计算和模型。从20世纪30年代到70年代是逻辑学取得巨大进步的时期。从20世纪50年代到80年代，麻省理工学院是该领域的主要中心。
如今逻辑学中最令人兴奋和活跃的领域是集合论、模型论以及与计算机科学的联系。集合论解决了各种方法来公理化数学，对理解具有大无限基数的集合的性质和与数学公理化的联系具有启示意义。模型理论研究特殊的数学理论，如复杂代数几何，并已被用于解决这些领域的开放性问题。理论计算机科学部分是由逻辑学发展起来的，诸如P =?NP是用逻辑学的技术来研究的。
数论
自古以来，整数和素数就使人们着迷。最近，该领域取得了巨大进展。1995年怀尔斯对费马大定理的解决引发了一系列相关的活动，这些活动一直持续到现在，比如最近卡雷和温滕伯格对塞尔关于模伽罗瓦表示和模形式之间关系的猜想的解决。黎曼假设，克莱千年问题之一，是解析数论的一部分，它使用解析方法(微积分和复分析)来理解整数。该领域的最新进展包括Green-Tao证明质数出现在任意长的等差数列中。朗兰兹纲领是将数论与表示论联系起来的一系列广泛的猜想。由于与密码学的关系，数论在计算机科学中有应用。
本课题组的研究兴趣包括：Galois representations, Shimura varieties, automorphic forms, lattices, algorithmic aspects, rational points on varieties, and the arithmetic of K3 surfaces.
概率与统计
继Kolmogorov和Wiener之后，概率论在第二次世界大战后将重点放在了与偏微分方程调和分析的联系上，并取得了巨大成功。它在现代调和分析中取得了一些最精细的结果，值得称赞;为工程中信号处理和滤波理论的建立奠定了基础;它在使量子场论合理化的数学尝试中发挥了关键作用。概率论的组合分支在那个时期被遮蔽了，但现在又回到了前台。概率论位于纯数学和应用数学许多领域以及数学系以外的领域的十字路口。统计学是一个数学领域，具有许多重要的科学和工程应用。
表示论
对称性贯穿于数学和科学。表示论试图理解对称的抽象集合产生的所有可能方式。19世纪的表示论帮助解释了电子轨道的结构，20世纪20年代的表示论是量子色动力学的核心。在数论中，p-adic表示理论是朗兰兹纲领的核心，在过去的四十年里，朗兰兹纲领是一系列猜想，指导了数论的很大一部分。
一个基本问题涉及到描述每个李群的所有不可约酉表示，即有限维几何的连续对称性。这样做对应于识别量子力学系统的所有有限维对称性。我们在这个重要的问题上取得了很大的进展，包括麻省理工学院教师在这一领域的强大工作。无限维群和超群的表示理论对弦理论、统计力学、可积系统、层析成像和许多其它数学领域及其应用至关重要。
研究方向包括vertex algebras、量子群、无限维李代数、实数群和p-adic群的表示、Hecke代数和对称空间。
应用数学：组合
计算生物学
物理应用数学
计算科学与数值分析
理论计算机科学
数据数学
组合：
组合学涉及对离散对象的一般研究。关于这些物体的推理贯穿于数学和科学。例如，涉及解码基因组和系统发育树的主要生物学问题在很大程度上是组合性的。量子引力研究人员发展了深度组合方法来求积分，统计力学中的许多问题被离散化为组合问题。2006年4个菲尔兹奖中有3个被授予了与组合学密切相关的工作:Okounkov关于随机矩阵和Kontsevich猜想的工作，Tao关于等差数列中的素数的工作，以及Werner关于渗透的工作。
在过去的四十年里，我们系一直走在组合学的前沿。已故的Gian-Carlo Rota被认为是现代enumerative/代数组合学的奠基人，他将其从一堆特殊的技巧转变为一门与其它数学领域有着重要联系的深刻而统一的学科。我们系一直是发展组合学、交换代数、代数几何和表示理论之间联系的纽带，这些联系导致了重大长期问题的解决。我们在极值学、概率学和算法组合学方面也处于领先地位，这与包括计算机科学在内的其它领域有着密切的联系。
计算生物学
计算生物学和生物信息学开发和应用应用数学、统计学、计算机科学、物理和化学的技术来研究生物问题，从分子到宏观进化。通过从生物系统中汲取见解，可能会出现数学和其它领域的新方向。
数学系领导了先进的数学建模技术和复杂的计算算法的发展，以解决具有挑战性的生物问题，如蛋白质折叠，生物网络分析和分子机械模拟。
数学建模和计算机算法已被广泛用于解决诸如序列比对、基因发现、基因组组装、蛋白质结构预测、基因表达分析和蛋白质-蛋白质相互作用以及进化建模等生物学问题。因此，研究人员现在经常使用同源性搜索工具进行DNA/蛋白质序列分析，使用基因组组装软件进行全球基因组测序项目，使用比较基因组分析工具研究不同物种的进化史。所有这些广泛使用的工具都是由麻省理工学院数学系的教师、讲师和以前的学生开发的，至少部分是这样。计算生物学家开发的技术和工具被广泛用于通过精确定位靶点、筛选生物活性分子和设计特定用途的合成分子来推动药物开发。
在这个领域范围内令人兴奋的问题包括生物信息学中的蛋白质折叠挑战和系统生物学新兴领域中分子相互作用的阐明。数学家可能会对这些基本问题做出重大贡献。
物理应用数学
这个领域有两个互补的目标:
1.开发新的数学模型和方法，广泛应用于科学和工程;和
2.在数学和物理科学方面取得根本性的进步。
本系在以下各个领域都取得了重大进展。我们发展了一个理论框架来描述非线性电渗透流的诱导电荷机制。我们在仿生学方面的工作重点是阐明昆虫和鸟类在微观尺度上进行流体输送的机制。这些和其它在数字微流体和纳米技术方面的活动已经应用于生物启发材料（biologically inspired materials），如单向超疏水表面，以及“芯片实验室”和微泵等设备。输运现象理论提供了多种有用的数学技术，如集体运动的连续方程、多体流体动力相互作用的有效数值方法、混沌混合的测量和带电双层的渐近分析。纳米光子学是研究与波长相同长度的介质中的电磁波现象，是我们小组的一个活跃研究领域，例如，从超低功率激光器到空心光纤，对光进行前所未有的控制。新的数学工具在这里可能是有用的，为光约束给出严格的定理，并成了理解量子和原子尺度现象变得重要的限制（the limit）。颗粒材料提供了具有挑战性的问题，集体动力学远离平衡。致密颗粒物质的中间性质(介于固体和流体之间)违背了传统的统计力学和现有的流体力学和固体弹塑性连续体模型。尽管有两个世纪的工程研究，但没有一个已知的通用连续模型可以描述多种情况下的流场(例如，在筒仓排水和剪切室中)，更不用说分散颗粒的扩散或混合了。一个基本的挑战是从微观机制中推导连续方程组，类似于简单流体的碰撞动力学理论。在更大的尺度上，我们也非常成功地揭示了星系的一些奇怪的动力学。
计算科学与数值分析
计算科学是与物理数学相关的一个关键领域。物理数学中令人感兴趣的问题往往需要计算才能解决。相反，高效计算算法的发展往往需要理解要用数值方法求解的方程解的基本性质。例如，双曲方程求解方法的发展(例如，气体动力学中的激波捕获方法)的特点是理论、计算、实验科学家和工程师之间的密切互动。理论计算科学
该领域包括两个子领域:算法理论，涉及计算过程的设计和分析;复杂性理论，这涉及到努力证明在某些情况下不存在有效的算法，并研究计算任务的分类系统。时间、内存、随机性和并行性是计算工作量的典型措施( typical measures)。
理论计算机科学是数学和计算机科学之间的天然桥梁，这两个领域都受益于这种联系。这个领域非常活跃，有令人兴奋的突破和有趣的挑战。P =?NP问题是克莱千年七大难题之一。最近的多项式时间原数算法获得了克莱数学研究奖。
几十年来，麻省理工学院一直是理论计算机科学的主要中心。一群强大的EECS系教师也在这一领域工作，并通过CSAIL与数学系开展联合活动。RSA密码系统和Akamai技术是数学系和EECS系教师开发的两个重要的成功案例。
我们的小组研究活跃的领域，如量子计算，近似算法，数论算法，分布式计算和复杂性理论。
数据数学
“数据数学”包含了多种数学技术，这些技术不仅对处理大量数据集至关重要，而且对从中提取的有意义的见解也至关重要。植根于核心领域，如概率、统计理论、线性代数、优化与组合学，这门学科提供了导航数据复杂性所需的工具。随着人工智能和数据分析领域的不断扩展，它们不仅严重依赖于这些基础数学概念，而且还为数学世界提供了新的视角和挑战。这种动态的相互作用强调了在我们不断发展的数字环境中数据和数学之间相互丰富的关系。
Algebra（代数）
代数技术在现代数学中是至关重要的。因此，随着通过群论与几何拓扑学建立联系，通过表示论与同伦论和数论建立联系，通过几何表示论与代数几何建立联系，代数组自然是该系的许多重大研究课题之一。Combinatorics（组合）
主要研究方向:极值组合、图论、组合数论。Functional Analysis（泛函分析）
主要研究方向:算子理论，包括无界算子和抽象微分方程。Geometry（几何）
研究方向包括代数几何、黎曼几何、同调镜像对称和辛几何。代数组与表示论有联系（links）。History of mathematics（数学史）
数学史是一门与历史系关系密切的多学科学科。研究兴趣包括从现代早期（the early modern period right up to the twentieth century）一直到二十世纪的数学及其社会背景。Logic（逻辑）
主要研究方向:解析拓扑学，几何稳定性理论，P进域及丢番图几何（p-adic fields and diophantine geometry）Machine Learning and Data Science
机器学习和数据科学正在使用广泛的数学技术发展。我们的研究专长包括:应用和计算谐波分析、网络、优化、随机矩阵理论、粗糙路径、拓扑数据分析以及这些方法的应用。Mathematical & Computational Finance（数学与计算金融）
数学与计算金融小组是金融数学建模领域世界领先研究小组之一。研究课题包括衍生品定价、计算方法、信用风险、定量风险管理、市场微观结构和高频建模、宏观金融建模和系统风险。Mathematical Biology（数学生物）
发展和应用数学和计算方法来理解生物和医学科学中的关键问题。Mathematical Physics（数学物理）
主要研究方向:规范和引力理论(量子场论)、弦理论、扭曲理论（twistor theory）、Calabi-Yau流形、量子计算和密码学。Number theory（数论）
数论小组的成员在分析和组合数论、算术代数几何和计算数论方面工作，与代数、组合学、几何、拓扑、逻辑和数学物理等当前问题有许多深入的联系。Numerical analysis（数值分析）
数值分析组开发和分析与偏微分方程、线性代数、优化和其他领域有关的数学问题的算法。在应用方面有很强的参与，与OCIAM，沃尔夫森数学生物学中心和非线性偏微分方程中心特别密切的联系。Industrial and Applied Mathematics（工业与应用数学）
主要研究方向:能源、工业、地球科学、网络、金融、方法论。Nonlinear Partial Differential Equations（非线性偏微分方程）
研究重点是非线性偏微分方程的基本分析，以及求解非线性偏微分方程的数值算法。目前感兴趣的领域包括变分（ calculus of variations），非线性双曲系统，逆问题，均匀化，无限维动力系统，几何分析和出现在固体和流体力学，材料科学，液晶，生物学和相对论中的偏微分方程。Stochastic analysis（随机分析）
主要研究方向:rough path theory, Schramm-Loewner evolution, mathematical population genetics, financial mathematics, self-interacting random processes.Topology（拓扑）
拓扑学组的成员在代数、几何和微分拓扑学方面有着广泛的兴趣。高维流形理论和低维流形理论(包括 knot theory)均有表示。特别重点研究是拓扑量子场论和几何群论。
