Stanford数学专业的研究领域
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Research Areas（研究领域）：
Analysis & PDE（分析与偏微分方程）分析和偏微分方程是斯坦福数学系的主要优势，与几何和应用数学有着密切的联系(因为偏微分方程描述了这些领域的基本方面)。高级教员感兴趣的领域包括椭圆和抛物线偏微分方程，特别是与黎曼几何有关的偏微分方程;传播现象，如波和散射理论，包括洛伦兹几何;微局部分析，给出了偏微分方程的相空间方法;几何测量理论;随机偏微分方程和随机介质中的波传播以及应用数学的偏微分方程。
Applied Math（应用数学）
斯坦福大学数学系的应用数学专业广泛地关注科学计算、随机建模和应用分析等领域。一些更具体且同样广泛的兴趣领域是：信号处理，压缩感知，成像，快速数值算法，以及随机介质中物理现象的数学分析。斯坦福大学的许多应用数学都是在数学系之外进行的，比如统计学系、计算数学与工程研究所、the Center for Turbulence Research，以及其它各种科学和工程学系。“理论应用数学”和“工程应用数学”之间的联系使应用数学群体的生命充满活力。
Combinatorics（组合）
组合学涉及对离散对象的研究。它应用于数学和科学的各个领域，并在计算机科学的发展中发挥了特别重要的作用。虽然可以说它和计数一样古老，但在过去的半个世纪里，随着计算机的兴起，组合学得到了显著的发展。它借鉴了不同数学领域的工具。例子包括概率方法，它是由Paul Erdös首创的，使用概率来证明具有有趣性质的组合结构的存在，代数方法，如使用代数几何来解决离散几何和极值图论中的问题，以及从Lovász证明Kneser猜想开始的拓扑方法。数论中一个值得注意的应用是证明Green-Tao定理，即存在任意长的素数等差数列。斯坦福大学数学系是组合学的领导者，在概率组合学、极值组合学、代数组合学、加法组合学、组合几何和计算机科学应用方面具有特别的优势。
Financial Math（金融数学）
目前，斯坦福大学的金融数学研究分为两大领域。一是关于财务数据分析中出现的数学问题;它涉及大型数据集的统计估计方法，通常使用随机矩阵理论，特别是动态或时间演化的大型随机矩阵。另一种是多智能体（multi-agent）随机控制问题，它对相互作用的市场进行建模。平均场博弈论是在微分方程和随机分析之间产生数学问题的一个例子。
Geometry（几何）
现代几何有许多不同的形式，从几何拓扑和代数几何和辛几何到几何分析(它与偏微分方程和几何测量理论有很大的重叠)到动力学问题。长期以来，斯坦福一直是这些几何领域的关键中心之一。目前从事几何研究的教师主要的研究领域包括：代数几何、Ricci和平均曲率流（mean curvature flows）以及其它曲率方程、最小曲面和几何测量理论、数学相对论、光谱几何、几何散射理论以及Riemann和teichmller模空间的几何和动力学。
Number Theory（数论）
当代数论通过与许多其他数学领域的相互作用而迅速发展。从遍历理论（ ergodic theory ）中获得的洞见使关于素数分布的老问题取得了巨大的进展，几何表示理论和变形理论产生了构造具有规定性质的伽罗瓦表示的新技术，P-进（p-adic）几何和算术几何以及纯表示理论的发展使L函数（ L-functions ）的自守形式和特殊值的研究发生了革命性的变化。
朗兰兹纲领(以其许多现代形式)和怀尔斯对费马大定理的证明所产生的发展所产生的思想继续指导着该学科的代数和几何方面的许多正在进行的研究，在分析方向上，加性组合学和调和分析（谐波分析）的结合继续在许多方向上取得突破。
除了专门的研究生课程，数论小组每周有一个研究研讨会，和来自数论各个领域的外部演讲者一起进行。还有各种各样的学习研讨会，旨在帮助学生和博士后熟悉教科书中通常没有的重要技术和结果。
Probability（概率论）
斯坦福大学的概率论小组从事许多研究活动，包括统计力学问题、马尔可夫链分析、数学金融学、概率论和表示理论的接口问题、随机图、大偏差、组合和离散概率以及其它各种领域的问题。研究生课程提供了广泛的现代概率论课程，从一系列的三门基础课程到涉及当前研究的更高级的主题课程。除了概率论的核心小组，斯坦福大学还有许多教师致力于概率论在理论统计学、机器学习、数学生物学、计算机科学等领域的应用。
Representation Theory（表示论）
表示论是研究对称物体的基础。它出现在各种各样的环境中，如洗牌（card shuffling ）和量子力学。早期的成功是Schur和Weyl的工作，他们计算了对称群和酉群的表示理论;这个问题的答案与经典的对称函数理论密切相关，进一步的研究将引出组合学中复杂的问题。
最近，几何学和拓扑学的方法极大地增强了我们对这些问题的理解(“几何表示论”)。仿射李代数和量子群的研究带来了许多新的思想和观点，表示论现在为其它领域提供了基础语言，包括现代自守形式理论。
所有这些方面都由斯坦福大学的教师进行研究。最近研讨会的主题包括组合表示理论和量子群。
Symplectic Geometry & Topology（辛几何与拓扑）
辛拓扑是几个数学学科的交叉点，如低维拓扑、代数几何、表示论、哈密顿动力学、可积系统、镜像对称和弦理论。它有着令人惊讶的刚性（严肃）和柔性（灵活）的混合行为。斯坦福大学辛拓扑组目前的研究领域包括全纯曲线的模空间及其在手术下的行为、辛场论及其相关版本、拟态和拟态理论（quasi-states and quasi-morphisms），以及Stein结构、Weinstein流形和高维接触结构的存在性和柔性结果。
Topology（拓扑）
拓扑学研究空间在变形下不变的性质。流形扮演着一个特殊的角色，它的性质与物理宇宙非常相似。斯坦福大学的教职员工在拓扑空间上研究各种各样的结构，包括曲面和三维流形。模空间的概念是由黎曼在19世纪发明的，用来编码黎曼曲面在族中的变化;今天，模空间的几何和同伦理论方面的研究是与代数几何和辛几何密切相关的一个重要课题。它也导致了有趣的动力系统和群论。拓扑学的更多代数方面研究同伦理论和代数k理论，以及它们在几何和数论中的应用。
拓扑学组定期提供第一年和第二年的研究生课程，以及各种主题的专业课程。此外，每周有两次邀请外部演讲者参与的研讨会，以及由教师和研究生举办的几次学习研讨会。
参考来源：斯坦福大学人文与科学学院数学系
